対数グラフで「雲泥の差」の「差」を読み解く

「ドングリの背くらべ」という表現もあれば「五十歩百歩」という言葉もある。似たり寄ったり、比べたところで大差ないことをいう。

逆に、比較することさえ無駄に思える明白な差を、「雲泥の差」という。商品の売り上げや、わが子の成績順位を示すグラフの線が、ヨコ軸にべったり張り付くように伸びていたら、トップとは雲泥の差で、もはや比較する気にはなれない……かもしれない。

しかし50歩と100歩のあいだには、50歩という明らかな違いがあるように、ドングリの背にも必ず差はある。それが見えにくいだけのはずだ。よく見えないまま、ただ単純に比べていると、その差は何も語りかけてはくれないが、少しだけ細工をすると雄弁になる。雲泥の差といえども、雲と泥の距離感はまったく違うものになるだろう。

最近「書籍販売市場における隠れた法則性」（慶應義塾大学、井庭崇ほか）という論文を読んだ。全国2000以上の書店での書籍の販売データを解析し、販売冊数と順位の関係から「隠れた法則性」を導き出したものである。

図1（左）のグラフは、2006年5月における販売冊数（割合）と順位を示している。販売冊数（割合）とは、そのタイトルの販売冊数を、書籍全体の販売冊数で割った数字である。グラフでは、タテ軸にその販売冊数（割合）、ヨコ軸には第1位から第60万位まで順位が取ってある。第1位から第3位までの書籍名と販売冊数（割合）は、次のようになっているという。

（1）『ハリー・ポッターと謎のプリンス』2.47％
  （2）『ダ・ヴィンチ・コード（上）』1.91％
  （3）『ダ・ヴィンチ・コード（中）』1.63％

ちなみに最下位となった書籍の販売冊数（割合）は、0.00000582289％だったという。

さて、そこで図1（左）のグラフを読む。上位にランクされた本は、販売冊数もダントツに多い。ただし、ダントツに多いのは上位の一部にすぎないことが、タテ軸にべったりと張り付いた線からわかる。そして、それ以外のほとんどがさっぱり売れていないことは、ヨコ軸に張り付くように伸びた線から理解できる。

しかしこのグラフでは“ダントツ”と“その他”は雲泥の差であり、比較することが難しい。“その他”にしても、ヨコ軸に張り付いたドングリの背くらべになっているので、違いの分析をしようがない。そこでちょっと細工をする。

まず図1（左）のグラフはヨコ軸「x」の値が増加すると、タテ軸「y」の値がx乗で減少するという「y=a^x」の性質をもっている。xとyのこの関係を、べき乗分布という。

べき乗分布は、ふつうのグラフ用紙（線形グラフ）に描き込むと、ドングリの背くらべと雲泥の差が混在するので、わかりにくい。そこで「両対数グラフ」に置き換えてやると、図1（右）のようになる。対数と対数グラフについては後述するので、まずは見ていただきたい。見事な傾斜をもった線グラフである。もはや“ものいわぬ”ドングリの背くらべでもなければ雲泥の差でもない。ふつうのグラフ用紙に示された「L字」のような線とは、比較にならないほど雄弁になっている。

これは実におもしろい。著者がいうように、普通のグラフでは「破格に売れているタイトルがごく稀にあり、ほとんど多くのタイトルはあまり売れていない」ことを示してはいるが、対数グラフでは「売れ行きの規模に関係なく、順位が下がれば販売量が規則正しく減少していくということ」が明確にわかる。言い換えれば、順位が下位の書籍でも、トータルではけっこうな販売冊数になるということである。

では、対数とは何か。高校の数学以来目にすることさえなかった人もいるだろう。平たくいうと、べき乗（累乗）の反対である。たとえば2の3乗は、「2×2×2=8」になる。逆に2を何乗したら8になるか、の答えは3である。そこでこれを、「3=log₂8」と表す。つまり「2の3乗は8」を「2³=8」と記し、対数の「3は、2を8にする数（指数という）」を「3=log₂8」と表す。

>>「『対数グラフ』の使い方」の目次はこちら